백준 4008번: 특공대

문제링크

https://www.acmicpc.net/problem/4008

4008번: 특공대

풀이

• $dp[i]:$ i 번 병사들로 특공대를 만들었을 때 조정된 전체 전투력의 최댓값이라고 하고
• $v[i], pv[i]$ 는 각각 병사의 전투력과 그 누적합 배열이라 하자
• $dp[i]$ 는 i 번 병사가 속해있는 특공대가 앞의 몇명을 포함하느냐에 따라서 생각해 볼 수 있고 그를 나타낸 점화식은 다음과 같다.
  • $dp[i] = max_{0 <= j  < i} (dp[j] + a * (pv[i] - pv[j])^2 + b * (pv[i] - pv[j]) + c)$
• 이를 정리하면 다음과 같다.
  • $dp[i] = max_{0 <= j < i} (-2a*pv[j]*pv[i] + dp[j] + a * pv[j]^2 - pv[j] + a*pv[i]^2 + b* pv[i] + c)$
• 컨벡스헐트릭(Convex hull trick)을 적용할 수 있는 점화식 형태이며 $pv$ 배열또한 단조성을 가지고 있으므로 $O(N)$ 에 해결할 수 있다.

코드

• 시간복잡도: $O(N)$

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
#define all(v) (v).begin(), (v).end()
#define rall(v) (v).rbegin(), (v).rend()
struct line {
    long long m, c;
    long long eval(long long x) { return m * x + c; }
    long double intersectX(line l) { return (long double) (c - l.c) / (l.m - m); }
};
 
int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    
    int N;
    cin >> N;
    long long a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    vector<long long> v(N + 1, 0), pv(N + 1, 0);
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        cin >> v[i];
        pv[i] = v[i] + pv[i - 1];
    }
 
    deque<line> dq;
    dq.push_front({0, 0});
    long long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        while (dq.size() >= 2 && dq[0].eval(pv[i]) <= dq[1].eval(pv[i]))
            dq.pop_front();
 
        ans = dq.front().eval(pv[i]);
 
        line cur = {-2LL * a * pv[i], a * pv[i] * pv[i] - b * pv[i] + ans +a * pv[i] * pv[i] + b * pv[i] + c };
        while (dq.size() >= 2 && cur.intersectX(dq.back()) <= dq.back().intersectX(dq[dq.size() - 2]))
            dq.pop_back();
        dq.push_back(cur);
    }
 
    cout << ans + a * pv[N] * pv[N] + b * pv[N] + c << '\n';
}